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| 2022年高考數(shù)學(xué)（北京卷）試題解析 |
| http://wyaoyuming07.cn 2022年6月7日 來(lái)源：微信公眾號(hào)：北京考試高考 |
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2022年高考數(shù)學(xué)北京卷堅(jiān)持“以德為先，能力為重，全面發(fā)展”的命題理念，穩(wěn)妥推進(jìn)新高考的改革，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)著力點(diǎn)，三個(gè)突出，四條路徑”的評(píng)價(jià)體系。即以立德樹(shù)人為中心，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力為兩個(gè)著力點(diǎn)；突出對(duì)主干知識(shí)、思想方法、問(wèn)題解決能力的考查；通過(guò)優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)、創(chuàng)新呈現(xiàn)方式、精選試題素材，突出學(xué)科本質(zhì)，達(dá)到落實(shí)高考育人的目的。
一個(gè)中心：立德樹(shù)人
北京卷命題堅(jiān)持以立德樹(shù)人為根本任務(wù)，構(gòu)建了引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系。第7題以國(guó)家速滑館“冰絲帶”綠色環(huán)保場(chǎng)館為背景，設(shè)置二氧化碳所處的狀態(tài)與溫度和壓強(qiáng)的關(guān)系圖，滲透德育教育。第18題以學(xué)生熟悉的校運(yùn)動(dòng)會(huì)體育比賽為背景， 重點(diǎn)考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中關(guān)于數(shù)據(jù)的收集、估計(jì)、預(yù)測(cè)的基本方法和原理，滲透體育教育。
兩個(gè)著力點(diǎn)：數(shù)學(xué)素養(yǎng)、創(chuàng)新能力
一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)
北京卷通過(guò)設(shè)計(jì)現(xiàn)實(shí)性和綜合性問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)對(duì)邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析六大素養(yǎng)的綜合考查。
針對(duì)邏輯推理，北京卷設(shè)計(jì)了至少5道題進(jìn)行考查。如第15題，是以一個(gè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列來(lái)設(shè)置，考查數(shù)列的基本概念、研究數(shù)列的增減性、估計(jì)數(shù)列項(xiàng)的范圍、判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列等。四個(gè)選項(xiàng)既考查合情推理，也考查演繹推理。針對(duì)直觀想象，北京卷設(shè)計(jì)了至少4道題進(jìn)行考查。如第9題，以正三棱錐為載體、以區(qū)域面積為出口，考查空間想象能力。問(wèn)題的本質(zhì)是研究球面和平面相交所得圓的性質(zhì)。針對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算，北京卷設(shè)計(jì)了至少12道題進(jìn)行考查。第16題，借助解三角形在考查二倍角公式、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查學(xué)生運(yùn)算過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性以及運(yùn)算的靈活性。針對(duì)數(shù)學(xué)抽象，北京卷設(shè)計(jì)了至少2道題進(jìn)行考查。如第20題（Ⅲ），考查不等式恒成立問(wèn)題，它的背景是二階導(dǎo)數(shù)大于0，即具有下凸性質(zhì)的抽象函數(shù)在一定條件下都具有的結(jié)論。此外，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析也分別設(shè)置了不同的問(wèn)題進(jìn)行考查。
二、創(chuàng)新能力
北京卷設(shè)置創(chuàng)新和思維深刻的問(wèn)題，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力。如第20題（Ⅲ）和第21題，題目設(shè)計(jì)創(chuàng)新，考查學(xué)生多角度、深層次去理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。如第20題（Ⅲ）二元函數(shù)不等式的證明這一創(chuàng)新的設(shè)問(wèn)打破常規(guī)，需要學(xué)生固定一個(gè)變量，把動(dòng)態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)，把二元的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元的問(wèn)題去處理�？疾閷W(xué)生將多元與一元，動(dòng)態(tài)與靜態(tài)，變量與常量，高等與初等，等進(jìn)行辯證思維的能力。第21題屬于綜合題，綜合了新定義、集合論、歸納法、排除法、演繹證明等思想和方法，考查學(xué)生創(chuàng)新能力。
三個(gè)突出：主干知識(shí)、思想方法、問(wèn)題解決能力
一、突出對(duì)主干知識(shí)的考查
2022年是北京實(shí)行新教材的第一年，北京卷基于數(shù)學(xué)課標(biāo)，回歸教材，突出對(duì)主干知識(shí)的考查，重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生應(yīng)知應(yīng)會(huì)的內(nèi)容，淡化機(jī)械記憶。重點(diǎn)考查了函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式、三角函數(shù)與解三角形、平面解析幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)概率、數(shù)列、其他（集合、復(fù)數(shù)、二項(xiàng)式定理、充要條件、向量）這些主干知識(shí)，充分體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)考查的基礎(chǔ)性和全面性。
同時(shí)，北京卷關(guān)注學(xué)生的不同發(fā)展水平，通過(guò)設(shè)置具有豐富的問(wèn)題梯度的問(wèn)題，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合考查。如第17題，第20題和21題，均設(shè)置多問(wèn)，體現(xiàn)出層次性和綜合性。這不僅為不同能力的學(xué)生搭建了臺(tái)階，而且也充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的要求。
二、突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查
北京卷從數(shù)學(xué)學(xué)科整體意義和思想價(jià)值的高度立意，有效檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的掌握。如第19題（Ⅱ）考查數(shù)形結(jié)合思想，第11和第14題考查了函數(shù)與方程思想，第10題體現(xiàn)的是化歸與轉(zhuǎn)化思想，第18題考查了概率統(tǒng)計(jì)的思想，第21題（Ⅲ）考查了分類討論思想。
三、突出對(duì)問(wèn)題解決能力的考查
北京卷突出對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用和跨學(xué)科的考查，如第7題選取綠色冬奧會(huì)為情境創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。問(wèn)題呈現(xiàn)了二氧化碳的三相圖，該圖可以使學(xué)生了解跨學(xué)科的知識(shí)。通過(guò)設(shè)置此問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中的環(huán)保問(wèn)題，樹(shù)立有責(zé)任的公民意識(shí)。第18題以體育鉛球比賽為背景，考查統(tǒng)計(jì)學(xué)中預(yù)測(cè)方法與步驟的全過(guò)程。在體育比賽，特別是國(guó)際比賽中，預(yù)測(cè)比賽結(jié)果是體育比賽中一個(gè)重要的研究方向和熱門(mén)話題，通過(guò)解決此問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系。
四條路徑：試卷結(jié)構(gòu)、呈現(xiàn)方式、試題素材、數(shù)學(xué)本質(zhì)
一、優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)出基礎(chǔ)性和選拔性
北京卷進(jìn)一步優(yōu)化試卷的結(jié)構(gòu)，首次將考查立體幾何的試題改為結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，以直三棱柱為背景考查線面關(guān)系。給出的兩個(gè)等價(jià)條件，讓學(xué)生從位置和度量?jī)蓚�(gè)方面進(jìn)行選擇。這種嘗試增強(qiáng)了試題靈活性，為引導(dǎo)教學(xué)、防止題型固化、命題方式固化起到積極的作用。
在試卷難度控制上，繼續(xù)保持試題的“入口易、口徑寬”，中低難度的試題仍保持了相當(dāng)?shù)谋壤�。同時(shí)，綜合創(chuàng)新題依然具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，并保持了較好的區(qū)分度，如第20題第三問(wèn)，第21題有三問(wèn)。
二、改革試題呈現(xiàn)方式，體現(xiàn)試題的選擇性和開(kāi)放性
北京卷通過(guò)創(chuàng)新題型，設(shè)計(jì)條件或結(jié)論開(kāi)放、解題方法多樣、答案不唯一的試題等多種方式，體現(xiàn)試題的選擇性和開(kāi)放性。
第14題通過(guò)含參的動(dòng)區(qū)間分段函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，按照0與1為分界點(diǎn)分三種情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，考查學(xué)生思維的靈活性和多樣性。第15題設(shè)置了一個(gè)無(wú)窮正數(shù)數(shù)列，考查數(shù)列的增減性、估計(jì)數(shù)列項(xiàng)的范圍、判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。解決此問(wèn)題需要學(xué)生利用放縮的思想，遞減數(shù)列的定義，數(shù)列的下界，反證的思想等去推證和證偽，考查學(xué)生對(duì)于高階知識(shí)的理解和遷移的能力。
北京卷在命題技術(shù)和評(píng)分量表上進(jìn)行持續(xù)探索。如設(shè)計(jì)分層賦分試題。優(yōu)化了試題的區(qū)分和考查效果。
三、精選試題素材，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)和學(xué)生生活的聯(lián)系
北京卷在試題素材的選取上真實(shí)、自然、合理。如第7題的背景是 “冰絲帶”國(guó)家速滑館。場(chǎng)館采用二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，碳排放趨近于零，體現(xiàn)了中國(guó)對(duì)于綠色冬奧的努力；第18題設(shè)置鉛球比賽問(wèn)題，源于國(guó)家規(guī)定如果成績(jī)達(dá)到9.5m以上，可以獲得國(guó)家“三級(jí)運(yùn)動(dòng)員”證書(shū)這樣的背景，所設(shè)計(jì)的問(wèn)題符合現(xiàn)實(shí)。材料源于社會(huì)、源于真實(shí)情境，考查學(xué)生問(wèn)題解決的能力。
四、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸課堂
北京卷命題體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)教學(xué)回歸課堂。一是試題內(nèi)容緊扣課標(biāo)和教材，如第16題、第17題都是解三角形和立體幾何的基礎(chǔ)性問(wèn)題，第19題、第20題是解析幾何和導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，這四道題所考查的知識(shí)都是高中的基礎(chǔ)知識(shí)，所使用的方法也是通性通法。二是試題關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)。如第10題以平面幾何切入，研究向量的數(shù)量積問(wèn)題，學(xué)生可以用多種方式解決（建立直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系問(wèn)題求解；所求向量數(shù)量積最大的問(wèn)題；三角函數(shù)的值域問(wèn)題），考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。第20題和第21題分別考查導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的本質(zhì)，使學(xué)生從深層次去感悟數(shù)學(xué)的思想和方法。
總之，2022年高考數(shù)學(xué)繼續(xù)保持“入口易、口徑寬，深入緩、出口難”的特點(diǎn)，堅(jiān)持“立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的命題指導(dǎo)原則，形成了“一個(gè)中心，兩個(gè)著力點(diǎn)，三個(gè)突出，四條路徑”的評(píng)價(jià)體系，導(dǎo)向中學(xué)對(duì)“四具備”人才的培養(yǎng)，即具備自覺(jué)的數(shù)量觀念的人、具備嚴(yán)密推理邏輯的人、具備高度抽象概括的人、具備一絲不茍、精益求精作風(fēng)的人。引導(dǎo)教學(xué)在六個(gè)方面“下功夫”，即在主干知識(shí)的掌握上下功夫、在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解上下功夫、在數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟上下功夫、在數(shù)學(xué)應(yīng)用探究上下功夫、在創(chuàng)新思維形成上下功夫、在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成上下功夫。助力學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展。
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